实数
定义为戴德金分割
实数是不可列的，用康托尔对角线法证明
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实数集开集和闭集
开球 的定义
定义R上，以x为中心，r为半径的开球为\(B_r(x)=\{ y\in R \mid \space \mid x-y \mid <r\}\)
命题 ：$G \subset R$是开集当且仅当存在一个可数且不相交的开区间\(\{ I_n \}\)，使得\(G=\bigcup I_n\)
康托尔三分集
康托尔三分集是一种特殊的集合，有一些良好的反直观性质。
例如，
- 它是一个可数个闭集\(\{F_n\}\)的交集，
- 因此\(K=\bigcap F_n\)为闭集
- 虽然是闭集，但长度为0
- 虽然“覆盖于”整个区间，但长度为0
- 虽然是可数个闭集的交，但本身是不可数的。
定义：
区间[0,1]上，每个连续的闭集，去掉中间三分之一的开区间无穷多次迭代，例如：
\(F_0=[0,1]\)
\(F_1=F_0-(1/3,2/3)\)
\(F_2=F_1-\{ (1/9,2/9)\cup(7/9,9/9)\}\)
…
性质：
- 闭集
- 长度为0
证明思路：
先去掉1/3，然后去掉2 * 1/9，然后去掉4 * 1/27，。。。
去掉部分长度为\(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2^n}{3^{n+1}}=1\),所以保留部分为0 - 不可数
证明思路：
康托尔集合可以与一个三进制数对应:
\(x_{(3)}=0.a_1s_2s_3a_4...\)
其中\(a_i=0,1,2\)
康托尔集移除“中间三分之一”，等价于去掉了\(a_j=1\)的情况，也就是\(\forall j ,a_j \neq 1\)。
这样，每一位就只有0或2
把每一位除以2以后，与二进制的实数集对应。
实数集是不可数的。
n维欧式空间上的开集和闭集
上面讨论了实数域上的开集和闭集，
这一个小标题内，把理论推广到$R^n$上,
进而推广到Metric Space(度量空间)内（有关测度的基础知识，见于我的另一篇博客范数、测度和距离）
进一步推广到拓扑空间。
开球 的定义
定义$R^n$上，以x为中心，r为半径的开球为\(B_r(x)=\{ y\in R^n \mid \space \mid x-y \mid <r\}\)
其中$\mid x \mid$是范数
开集 的定义
$G \subset R^n ,\forall x \in G , \exists r>0 \ni B_r(x) \subset G$,那么把G叫做开集
闭集 的定义
如果$G\subset R^n$,并且G的补集$\tilde G$是开集，那么G是闭集。
命题1 ：
- 如果\(\{ G_a \}\)是任意开集的集合，$G_a\subset R^n$,那么$\bigcup G_a$是开集，如果这个集合是有限的，那么$\bigcap G_a$是开集。
- 如果\(\{ F_a \}\)是任意闭集的集合，$F_a\subset R^n$,那么$\bigcap F_a$是闭集，如果这个集合是有限的，那么$\bigcup G_a$是闭集。
也就是说，在欧式空间上，任意开集的并集是开集，有限开集的交集是开集。
命题2：
如果两个$R^n$上的metric $d’(),d()$ Lipschiz等价。那么如果在$d’$定义的开球下是开集，那么在$d$定义的开球下也是开集。
Metric Space中的开子集和闭子集
把上面的定义推广到Metric Space：
开球 的定义：
$(X,d)$是一个metric space，$x\in X$,关于x的半径r的开球表示为$B_r(x)$,定义为：
\(B_r(x)=\{ y \mid d(x,y)<r \}\)
开集 的定义:
$G \subset X ,\forall x \in G , \exists r>0 \ni B_r(x) \subset G$,那么把G叫做开集
闭集 的定义
如果$G\subset X$,并且G的补集$\tilde G$是开集，那么G是闭集。
命题：
如果两个$R^n$上的metric $d’(),d()$ Lipschiz等价。那么如果在$d’$定义的开球下是开集，那么在$d$定义的开球下也是开集。
聚点 (cluster point)的定义：
$(X,d)$是一个metric space，$E\subset X$,
$x\in X$是E的一个聚点，如果$\forall r>0,B_r (x)\cap E \neq \emptyset$
稠密 的定义：
$(X,d)$是一个metric space，$E\subset X$,
称E是稠密的，如果$\forall x\in E,x$是E的聚点。
一些例子
开区间与闭区间
任意开区间的并是开区间，有限开区间的交是开区间
任意闭区间的交是闭区间，有限开区间的并是闭区间
$G_n=(-\dfrac{1}{n},1+\dfrac{1}{n})$,那么$\bigcap G_n=[0,1]$是闭集
$F_n=[\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}]$,那么$\bigcup F_n=(0,1)$是开集
素数
数论里面有这么几个简单的理论：
- 素数是无限多的，
证明：
（反证法）如果$n_1,n_2,…n_k$是全部素数，那么$n=n_1 * n_2 * … * n_k+1$是合数，然而并不能被任何素数整除，因此又是素数（矛盾） - 算数基本定理
因子分解到素数唯一。
具体内容：https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic
证明这个定理时，用到欧几里得引理，贝祖恒等式
