【Real analysis(3)】Sequence in Metric Space



2017年07月19日    Author:Guofei

文章归类: 0x51_代数与分析    文章编号: 5123

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原文链接:https://www.guofei.site/2017/07/19/sequence.html


本文讲解的概念:
度量空间(metric space)中的序列
序列的收敛性
柯西数列
完备的度量空间
紧集

metric space中的序列

Def1:metric space中的序列
$(X,d)$是metric space,如果\(\{x_n\}\)是一个可数无限的集合,那么称之为序列。

Def2: 序列有界
if $\exists D, \exists y\in X \ni \forall n,d(y,x_n)<D$,称为有界。

Def3: 序列收敛
$\forall \varepsilon , \exists N(\varepsilon) \ni \forall n>N,d(x_n,x)<\varepsilon$,
称为收敛,记为$\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$

metric space中序列极限的性质

TH1: 如果两个metric是Lipschiz equvalent的,那么收敛性也等价。
如果metric spaceX上两个metric, $d_1,d_2$李普希斯等价,\(\{ x_n \} \subset X\). 那么序列在$(X,d_1)$上收敛于x,当且仅当在$(X,d_2)$上收敛于x

TH2:
if $\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$ and $\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x’$, then $x=x’$

TH3:
if$\lim\limits_{n\to \infty} x_n =x$,那么$x_n$有界

TH4:
\(\{x_n\} \to x,\{y_n\} \to y\),

  1. $ax_n \to ax$
  2. $x_n+y_n \to x+y$

metric space中的柯西序列

Def:紧集
如果X的每个开覆盖都包含一个有限的子覆盖,那么称$(X,d)$是紧集

有界子列可以收敛

TH1: 紧集中的序列,存在收敛子列
\(\{ x_n \} \subset X\), X是紧集
那么存在子列\(\{ y_m \} \subset \{ x_n \}\),使$y_m \to y$,而且$y \in X$

TH2: 欧式空间中的有界序列,存在收敛子列
\(\{ x_n \} \subset R^n\),
那么存在子列\(\{ y_m \} \subset \{ x_n \}\),使$y_m \to y$,而且$y \in R^n$

柯西序列

Def: 柯西序列
称\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列,如果:
$(X,d)$是metric space,$\forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon),\forall m,n>N \ni d(x_n,x_m)<\varepsilon$

Th:如果两个metric 是 Lipschiz equvalent的,那么柯西准则也等价。
如果metric spaceX上两个metric $d_1,d_2$李普希斯等价,\(\{ x_n \} \subset X\). 那么序列在$(X,d_1)$上是柯西序列,当且仅当在$(X,d_2)$上也是柯西序列

TH1: 柯西序列有界
\(\{ x_n \} \subset X\)是一个柯西序列,那么\(\{ x_n \}\)有界

TH2:收敛序列是柯西序列
\(\{ x_n \} \subset X\), and $x_n \to x$, then,
$x_n$是柯西序列。

TH3:紧的柯西序列是收敛序列
\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列,并且X是紧metric space,那么$x_n$收敛

TH4:复空间中的柯西序列是收敛序列
\(\{ x_n \} \subset X\)是柯西序列,并且$X=R,C,R^n$,那么$x_n$收敛

完备的metric space

Def:完备的metric space
$(X,d)$是一个metric space,如果X内每一个柯西序列都收敛于X内的一点,那么称X在d下是完备的。

例子:

  1. $R,C,R^n$在二阶范数下是完备的
  2. $R^n$在$l_p$下是完备的
  3. 紧的度量空间是完备的
  4. $Q$在标准度量下不完备,$Q \cap [0,1]$不完备,任意开区间$(a,b)$不完备
  5. (与上一条类似)$Q^n$在标准度量下不完备,$Q^n \cap B_R(x)$不完备,$B_R(x)$不完备

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