【Real analysis(4)】级数,巴拿赫空间与希尔伯特空间



2017年07月23日    Author:Guofei

文章归类: 0x51_代数与分析    文章编号: 5124

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原文链接:https://www.guofei.site/2017/07/23/seriesrealanalysis.html


本文讲解的概念:
级数
绝对收敛,条件收敛
黎曼级数定理(条件收敛的重排)
收敛性的检验
lp空间
巴拿赫空间(Banach Space)
希尔伯特空间(Hilbert Space)

级数的若干定义

级数: \(\{\sum\limits_{j=1}^\infty x_j\}\)

positive series正项级数:$\forall j ,x_j>0$
negetive series负项级数:$\forall j,x_j<0$
alternating series交错级数

deverge series发散级数:$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j$不收敛
converge absolutely绝对收敛:$\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid$收敛
converge conditionally条件收敛:$\sum\limits_{j=1}^\infty \mid x_j \mid$不收敛,而$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j $收敛

Th: 级数绝对收敛,那么级数收敛
Th: 收敛级数的和也是收敛级数

Th: 两个级数绝对收敛,和也绝对收敛
Th: 两个级数绝对收敛,积也绝对收敛
(但是两个级数收敛,积不一定收敛)

典型的级数

power harmonic series :$x_j=j^{-a}$

a=1时,是 harmonic series ,这个级数发散
a>1时,级数收敛

证明思路:$x_j=j^{-a}=\sum\limits_{j=1}^m j^{-a}+\sum\limits_{j=m+1}^{m^2} j^{-a}+\sum\limits_{j=m^2+1}^{m^3} j^{-a}+…$

条件收敛的重排

Th:黎曼级数定理
一个条件收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,对于任意$r\in R$,存在重排函数$\pi(j)$,使得,$\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =r$
也就是说,条件收敛 的级数重排后,可以收敛于任何一个值。

Th: 那么,哪些重排函数不改变条件收敛的收敛值呢?
一个条件收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,如果重排函数$\pi$有这种性质,那么$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$:$\exists P,\forall j , \pi (j)<=j+P$

Th: 当然,对于绝对收敛的级数来说,不存在重排的问题
一个绝对收敛的级数$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j =s$,对于任意的重排函数$\pi(j)$,级数和不变,$\sum\limits_{j=1}^\infty x_{\pi(j)} =s$

收敛性的判断

1. 比较判别法

1.1 比较判别法(基础形式)

\(\{x_i\},\{ y_i \}\)是正项级数,如果$\exists N,\forall j>N,y_j< x_j$,那么

  • 如果$\sum x_i$收敛,那么$\sum y_i$收敛
  • 如果$\sum y_i$发散,那么$\sum x_i$发散

1.2 比较判别法(极限形式)

\(\{x_i\},\{ y_i \}\)是正项级数,如果$\lim\dfrac{x_i}{y_i}=\gamma (0\leq\gamma\leq+\infty)$,那么

  • 如果$\sum y_i$收敛,$\gamma<+\infty$,那么$\sum x_i$收敛
  • 如果$\sum y_i$发散,$\gamma>0$,那么$\sum x_i$发散

1.3 柯西根式判别法

$\sum x_i$是正项级数,那么

  1. 如果$\exists r<1,N\in \mathcal N$,使得
    $\sqrt[n]{a_n}<r,\forall n\geq N$
    那么$\sum a_n$收敛
  2. 如果有无穷多个$n$,使得
    $\sqrt[n]{a_n}\geq 1$
    那么$\sum a_n$发散

1.4 柯西根式判别法(极限形式)

$\sum x_i$是正项级数,并且$\lim\sqrt[n]{x_n}=q$,那么

  • 如果$q<1$,则$\sum x_n$收敛
  • 如果$q>1$,则$\sum x_n$发散

1.5 柯西积分判别法

如果函数$f(x)$在$[1,+\infty)$单调下降且非负,则
$\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)$与$\int_1^{+\infty}f(x)dx$同为收敛或同为发散

2. 比值判别法

定义 严格正项级数: $a_n>0,\forall n\geq n_0$

2.1 比较判别法(普通形式)

$\sum a_n,\sum b_n$都是严格正项级数,

  • 如果$\sum b_n$收敛,$\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$,那么$\sum a_n$收敛
  • 如果$\sum b_n$发散,$\exists n_0,\forall n\geq n_0,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$,那么$\sum a_n$发散

2.2 达朗贝尔判别法(普通形式)

$\sum a_n$是严格正项级数

  • 如果存在$r<1,n_0 \in \mathcal N$,使得
    $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq r ,\forall n\geq n_0$
    那么$\sum a_n$收敛
  • 如果存在$n_0\in \mathcal N$,使得
    $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\forall n\geq n_0$
    那么$\sum a_n$发散

2.3 达朗贝尔判别法(极限形式)

$\sum a_n$是严格正项级数,且$\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$
那么

  • 如果$q<1$,那么$\sum a_n$收敛
  • 如果$q>1$,那么$\sum a_n$发散

$x_j$绝对收敛,如果$\exists N,\forall j>N,\mid y_j\mid<\mid x_j \mid$,那么$y_j$也绝对收敛

比值判别法1

$x_j$绝对收敛,如果$\mid \dfrac{y_j}{x_j} \mid$收敛, 那么$y_j$也绝对收敛

比值判别法2

如果$\lim\limits_{n \to \infty} \sup{\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L <1$, 那么$x_j$绝对收敛

如果$\lim\limits_{n \to \infty} \inf {\mid \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \mid} =L >1$, 那么$x_j$发散

交错级数判别法

如果

  1. $x_j$是交错级数
  2. $\exists N,\forall j>N, \mid x_{j+1} \mid <\mid x_j \mid $
  3. $x_j \to 0$

那么 ,$\sum\limits_{j=1}^\infty x_j $收敛

lp空间

$l_p$空间与$L_p$空间不同,这里研究的是$l_p$空间,注意区别

Def:$l_p$空间的定义
\(l_P=\{ x=\{x_j\}_{j=1}^\infty \mid \space \mid \mid x \mid \mid_p<\infty \}\)

换句话说,$l_p$是一系列无限维向量组成的集合,这些向量的p-范数存在。

Th:
如果$1\leq p<p’\leq\infty$, 那么 $l_p \subset l_{p’}$

Th:
$l_p$是一个完备的赋范线性空间

巴拿赫空间

Def: 定义巴拿赫空间为,完备赋范线性空间

Th: $l_p$是一个完备的赋范线性空间,也就是巴拿赫空间。

需要证明这两个命题:

  1. $l_p$空间作为赋范线性空间闭合。也就是说,
    $\forall x,y \in l_p \Rightarrow x+y \in l_p $为真
  2. $l_p$空间完备。也就是说,$l_p$上的柯西序列收敛于$l_p$内某一点。

(证明略,下面是一些说明)

Def:$R^n,Q^n$
\(R^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in R\}\)
\(Q^n =\{x=(x_1,x_2,...x_n) \mid x_j \in Q\}\)

显然,$R_0^\infty \subset l_p \subset R^\infty$

Def:$R_p^n$
\(R_p^n=\{x\in R^n\mid \space \exists \{x_j\} \in Q^n,\ni\mid\mid x-x_j\mid\mid_p \to 0 \} (p\geq 1)\)
Th:$\forall p \geq 1,R^n_p=R^n$
也就是说,有理数集生成的完备集合,就是$R^n$

seriesrealanalysis.jpg

希尔伯特空间

Def:
定义希尔伯特空间为:完备,且含內积赋范线性空间

下面把希尔伯特空间应用于级数:

Def: 定义內积
$x\cdot y=\sum\limits_{j=1}^\infty x_i \bar y_i ,\space\space x,y\in l_2$(复数域或实数域)

p=2这种特殊情况是由赫德尔不等式给出的:
对于$p,q\in[0,+\infty),p^{-1}+q^{-1}=1$
都有$\mid(x,y)\mid \leq \mid\mid x\mid\mid_p \mid\mid y\mid\mid_q$
赫德尔不等式强调了p=q=2这种情况。

标准正交基

Def:标准正交基
\((e_i,e_j)=\left \{ \begin{array}{ccc} 0&i\neq j\\ 1&i=j \end{array}\right.\)

Th:(Parseval identity)
\(\{e_j\}_{j=1}^\infty\)是$l_2$上的任意标准正交基,那么$\forall x\in l_2$,都有$x=\sum\limits_{j=1}^\infty y_j e_j$,
其中系数为$y_j=(x,e_j)$
并且\(\mid\mid x \mid\mid_2^2 =\sum\limits_{j=1}^\infty \mid y_j \mid^2\)

傅里叶变换 等,与以上定理有关。

幂级数

幂级数的定义:
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n x^n$

幂级数收敛性的判断

定义:
$L=\overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\mid \dfrac{c_{n+1}}{c_n}\mid$
$R=1/L$是收敛半径

判断1:

  • $\mid x \mid <R$时,绝对收敛
  • $\mid x \mid >R$时,不收敛
  • $\mid x \mid =R$时,不确定

判断2:

  • 如果$x=a$时绝对收敛。那么$\mid x\mid \leq a$时也绝对收敛
  • 如果$x=a$时发散。那么$\mid x\mid \geq a$时也发散

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