概率论测试1

1.扔10000 次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少？
A. 100 B. 13 C. 9 D. 4

2.你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法，一种是每次赌 10块，一种每次赌1块，你決定都是输光或者赢到 100 块就走，则
A 两种方法输光的概率一样
B 第一种输光的概率较大
C 第二种输光的概率较大

3 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人最多 A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第-个女孩为止
C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
D.以上几个国家最后男女比例基本一样

4 如果有了个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并旦总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该
A.換
B. 不换
C.换不换都一样

5 假设考试周为 1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有了门考试，则最后一门考试大约在 A. 周四 B.周五 ¢.周六 D.周日

6 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了 100 把发现赢了 10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为
A 有一把赢了巨多
B 一直在慢慢的赢
C 两种情况都有可能

7 台湾大选，假定马英九最终得到 600000 票，谢长廷得到 400000 票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
A 0.1
B 0.2
C 0.3 D 0.4

8 实验室测试灯泡的寿命。在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为 1小时。考察 10000 小时时亮着的那个灯泡
A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时
C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的 1/2
B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍
D.以上说法都不对

9 以下那件事情发生的期望时间最短 A. 在第0秒个物体从原点出发，每一秒以概率 1/2 向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
B. 一只猴子，每秒种随便按键盎上的一个键，第一次打出”Bejing Welcomes You”的时间
C. 在第0秒，—个物体从原点出发，1/2 向右走，第一次到达 1 的时间

10 如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况
A. 此物体无穷多次回到原点
B. 此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
C. 此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点

概率论测试2

关于概率论的碎碎念以及王俊凯

三门问题

问题不多说，换门后赢的概率是 2/3，不换门赢的概率是 1/3

程序模拟如下：

解法1:做实验

import numpy as np


def strategy1(choosen, reveal):
    # 策略1：玩家不改变选择
    return choosen


def strategy2(choosen, reveal):
    # 策略2：玩家改变选择
    return list({0, 1, 2} - {choosen, reveal})[0]


def officer(right_answer, choosen):
    # 主持人：随机排除一个选项
    can_reveal = list({0, 1, 2} - {right_answer, choosen})
    np.random.shuffle(can_reveal)
    return can_reveal[0]


win_cnt, lose_cnt = 0, 0
num_experiment = 10000
for i in range(num_experiment):
    right_answer = np.random.randint(0, 3)
    choosen = np.random.randint(0, 3)
    reveal = officer(right_answer, choosen)
    choosen = strategy1(choosen, reveal)
    if choosen == right_answer:
        win_cnt += 1
    else:
        lose_cnt += 1

print(win_cnt / (win_cnt + lose_cnt))

解法2:直觉角度 如果你换门，本质上选择的是两扇门：

1. 当前选择的门，概率 1/3
2. 两个门的组合，并且其中一扇门被排除，概率是2/3

1

某饭店每日营业额的分布是右偏的，均值2500，标准差400.
从过去5年的每天营业额中，随机抽取100天，并计算平均营业额。这个营业额的分布是？

接近正态分布，均值2500，标准差40

2

10个人随机进入15个房间，X个房间有人，X的期望是多少？

第i个房间有/无人记为$X_i$(0-1分布)，
$P(X_i=1)=1-(14/15)^{10}$，
所以…

答案是7.476

3

独立随机变量$X,Y$服从参数为$\lambda_1, \lambda_2$的随机变量，求$E(X\mid X+Y=n)$

解体思路：

• 条件期望的定义$E(X\mid X+Y=n)=\sum_x x P(X=x\mid X+Y=n)=\sum_x x (P(X=x,Y=y))/P(X+Y=n)$
• 分母：X+Y也服从泊松分布，概率可以写出
• 分子：因为相互独立，所以可以写出
• 【关键步骤】：化简后，发现是二项分布求期望的公式

答案：$n\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$

4

一枚硬币，正面朝上概率为p. 连续抛掷，直到第一次正面朝上。求抛掷次数的期望。

这题很多解法：

• 几何分布，数字特征可以背下来
• 用定义，解一个数列的和
• 亮点解法，下面写:

记Y是第一次抛掷情况，N是抛掷次数。
$EN=E(N\mid Y=1)P(Y=1)+E(N\mid Y=0)P(Y=0)$

根据常识，观察到$E(N\mid Y=1)=1,E(N\mid Y=0)=1+EN$ 解出$EN=1/p$

5：关于假设检验

你在做正态总体均值的假设检验检验，H0:u=u0, H1:u≠u0,
实验结果$\bar X =$u0，那么()
不可能拒绝原假设

你在做正态总体均值的假设检验检验，H0:u≤u0, H1:u＞u0,
实验结果$\bar X<$u0，那么()
不可能拒绝原假设，但有可能犯第二类错误

6：关于第一类错误和第二类错误

某种小麦亩产250，标准差6。现在品种改良，抽取25亩，发现平均亩产提高20.
那么建立假设检验 H0:u≤250
问，当u=270时，不犯第二类错误的概率是

答案是$\Phi(15.02)$，这题绕了好几个弯弯

ANOVA

与t检验相比，ANOVA可以使犯第一类错误的概率（？？）

答案是降低。ANOVA可以：

• 提高检验效率
• 同时使用所有的样本信息，增加可靠性。
• 使用t检验，假设一次t检验的第一类错误概率是$\alpha$，那么n次就是 $1-(1-\alpha)^n$

回归

对数据 $(X_i,Y_i)$ 做回归。
如果X是自变量，参数是$\beta_{YX}$。 如果X是因变量，参数是$\beta_{XY}$
如果$r=\rho_{X,Y}$是相关系数，那么 $\beta_{YX}$ 和 $\beta_{XY}$ 的关系是？？？

答案是 $\beta_{YX} \beta_{XY} = r^2$
(推导容易，但如果没见过这个结论，很容易觉得他俩是倒数关系)