前一篇文章介绍了 Reed-Solomon 做擦除码，它允许丢失 $n-k$ 个位置，并还原出原始信息。（original view）
用 Reed-Solomon 做 ECC(Error correction capabilities)，可以纠错 $(n-k)/2$ 个，或者纠删 $n-k$ 个。（BCH view）

• ECC can correct up to (n-k)/2 errors, or n-k erasures, or any combinations of erasures/errors

原理

算法规格选取

1. 有的实现是按照幂升序来写的，有的按照降序来写，两种都可以，但不能混用。本文统一用降序
2. 生成多项式（下面会解释）为 $g(x) = (x-\alpha^i)(x-\alpha^{i+1})…(x-\alpha^{i+n-k-1})$，
   • i 决定了第一个根，可以是 1 或者 0 。在 CD/QR/DVB-T 中，i = 0，本文统一用i = 0
   • $\alpha$ 是本源元，本文统一取 2
   • 按照上面的取值，$g(x) = (x-\alpha^0)(x-\alpha^1)…(x-\alpha^{n-k-1}) = x^{n-k} + g_1 x^{n-k-1} + … + g_{n-k+1}x + g_{n-k}$

encode

超参数：

• 信息 message 有 k 个，$\mathbf m = [m_0, m_1, …, m_k]$
• 校验位 parity 有 l 个，（因此 encode 后的信息长度为 n = l + k）

列出多项式：

• 根据 message 的 k 个字节列出： $p(x) = m_0 x^{k-1} + m_1 x^{k-1} + … + m_{k-2} x + m_{k-1}$
• 生成多项式为 $g(x) = (x-2^0)(x-2^1)…(x-2^{l-1}) = g_0 x^l +g_1 x^{l-1} + … + g_{l}$，可以计算得到

显然， $p(x) x^l = m_0 x^{k+l-1} + m_1 x^{k+l-2}+…+ m_{k-1} x^l$

然后使用多项式的除法计算 $r(x) = (p(x)x^l) \mathrm {mod} g(x)$

• 因为 $g(x)$ 的最高次幂为 l，所以 $r(x)$ 最高次幂小于等于 l-1，记为 $r(x) = r_0 x^{l-1} + r_1 x^{l-2} + … + r_{l-1}$

它们合并起来 $s(x) = p(x) x^l - r(x) = (m_0 x^{k+l-1} + m_1 x^{k+l-2}+…+ m_{k-1} x^l) - (r_0 x^{l-1} + r_1 x^{l-2} + … + r_{l-1})$
由于在 Galois Filed 有 $0 - l = 0 + l$，因此上式还等于 $s(x) = m_0 x^{k+l-1} + m_1 x^{k+l-2}+…+ m_{k-1} x^l + r_0 x^{l-1} + r_1 x^{l-2} + … + r_{l-1}$

上面这个多项式的系数就是 encode 后结果 $[m_0, m_1, … , m_{k-1}, r_0, r_1, …, r_{l-1}]$

一些定理：

1. 因为 $r(x) = (p(x) x^{n-k}) \mathrm {mod} g(x)$，并且 $s(x) = (p(x) x^{n-k}) - r(x)$，就有结论：$s(x) \mathrm{mod} g(x) = 0$
2. encode 后结果 ($s(x)$ 的系数)，就是原始数据+校验位

decode

encode 简单，但 decode 复杂很多，包括几个算法：

1. syndromes：判断是否有错误 Si = syndromes(recv)
   • Si 为 syndromes polynomial（症状多项式）的系数
   • 其根为$a^j$，也就是说， $syn(a^j) = 0$
2. Berlekamp-Massey： Lambda = BerlekampMassey(Si)，
   • 得到的 Lambda 就是错误定位多项式（error locator polynomial）的系数
   • 算法迭代 n-k 次
3. ChienSearch：Xi = ChienSearch(Lambda)
   • error locator：用来定位错误的位置，Xi 就是错误的位置
   • error locations Xi, roots of Lambda: 通过快速求根来定位错误
4. error magnitudes Yi（Forney algorithm）：用来计算错误的幅度 Yi = ForneyAlgo(Xi, Si)，复杂度 $O(n^2)$
5. error corrector：计算错误 error = BuildFrom(Xi, Yi)，进而获得纠错后的内容：corrected = recv - error

假设传输过程中发生错误，接收到了 $y(x) = s(x) + e(x)$，其中 $e(x)$ 叫做 错误多项式。

$e(x) = e_0 x^{n-1} + … + e_{n-1}$，系数非 0 表示对应的位置的有错误，假设有 v 个错误（也就是 $e(x)$ 有 v 个非零系数），则要求：

1. 如果不知道哪些位错误，则 $v\leq (n-k)/2$
2. 如果知道哪些位错误则 $v \leq n-k$ ，如果达不到要求，就不能纠错。
3. 如果有些知道，有些不知道，则数量是以上的组合

如果我们计算得到 $e(x)$，那么可以轻松得到原始数据 $y(x) = r(x) - e(x)$

syndrome

从上面的推导知道，$s(x) \mathrm{mod} g(x) = 0$，并且 $g(x)$ 的根为 $(a^0, a^1,…, a^{n-k})$，所以 $g(x)$ 的根也是 $s(x)$ 的根

因此，$y(a^j) = s(a^j) + e(a^j) = 0 + e(a^j), 0 \leq j \leq l - 1$ 共得到 l 个数

// 前面写了，本文都用 fcr = 0
fn syndrome(r: Polynomial, l: usize, fcr: u8) -> Vec<u8> {
    (0..l).iter().map(|j| r.eval(gf8.exp2(j + fcr))).collect::<Vec<u8>>()
}

假如我们知道哪些数据出错了，问题和方法都变成纠错码：

• 也就是知道 $e(x) = e_0 x^{n-1} + … + e_{n-1}$ 的哪些系数非零
• 把 $x = a^j, y = y(a^j)$ 代入 $e(x)$，得到 l 个方程。
• 也就是说，只要出错的数据小于等于l个，并且知道它们的位置，就可以解 l 个方程，得到 l 个 $e(x)$ 的系数，从而得到$e(x)$，进而还原出 $s(x)$
• 这需要解一个线性方程组，复杂度为 $O(n^3)$
• 如果引入错误定位多项式，复杂度可以减少为 $O(n^2)$

Forney

引入多项式 Error locator polynomial $\Lambda (x) = \prod\limits_{i=1}^{v}(1-xX_i) = 1 + \lambda_1 x^1 +\lambda_2 x^2 + … + \lambda_v x^v = 1 + \sum\limits_{i=1}^v \lambda_i x^i$，

• 它满足 $\Lambda(X_i^{-1})=0$，其中 $X_i$ 是错误发生的位置，我们的目标就是求出它，不过在 forney 这个步骤中，我们假设已经求出它了

引入多项式 Error evaluator polynomial $\Omega(x) = S(x) \Lambda(x) \mathrm{mod} x^{n-k}$

• 其中，$S(x)$ 是上面计算的 syndrome polynomial $S(x) = S_0 +S_1 x^1 + S_2 x^2 +…+ S_{n-k-1} n^{n-k-1}$
• 取模操作$\mathrm{mod} x^{n-k}$，相当于取出低于 $n-k$ 阶的那些系数

计算可得 $y_i = -\dfrac{X_i^{1-j_0} \Omega(X_i^{-1})}{\Lambda’(X_i^{-1})}$

• 其中 $j_0$ 是前面写的第一个根，前面写了本文里面统一取0
• 一阶导数 $\Lambda’(X_i^{-1}) =\sum\limits_{i=1}^v i \cdot \lambda_i x^{i-1}$
• $i \cdot \lambda_i$ 不是有限域上的乘法，而是连加，因此如果 $i \cdot \lambda_i = \lambda_i \ \mathrm{if}\ i \ \mathrm{is \ odd, else \ 0}$

Berlekamp-Massey

此算法的目的是找到错误定位多项式 Error locator polynomial

它是一个迭代算法